Bayes sats eller sannolikheten för orsaker

Bayes sats är en av grundpelarna i sannolikhetskalkylen . Det är en teori som lades fram av Thomas Bayes (1702-1761) på 1700-talet. Men vad är syftet med denna berömda vetenskapsmans forskning? Sannolikhet uttrycker i en slumpmässig process förhållandet mellan antalet gynnsamma fall och antalet möjliga fall.

Många sannolikhetsteorier har utvecklats som styr vår existens idag. När vi går till läkaren skriver han ut det läkemedel som med största sannolikhet kommer att visa sig vara användbart i vårt fall, precis som annonsörer ägnar sina kampanjer åt de personer som är mest benägna att köpa produkten de vill marknadsföra eller turister och resenärer som väljer den väg där det sannolikt är minst kö.

Lagen om total sannolikhet är bland de mest kända, därför innan vi pratar om Bayes sats vi måste ägna några rader åt att förklara den första. För att försöka förstå det, ge bara ett exempel .

Vad är sannolikheten (P) för att en slumpmässigt utvald person från den arbetande befolkningen i detta land är arbetslös ?

Enligt sannolikhetsteorin skulle uppgifterna uttryckas enligt följande:

• Sannolikheten att personen är kvinna: P (M)
• Sannolikheten att personen är man: P (H)

Eftersom vi vet att 39 % av befolkningen består av kvinnor drar vi slutsatsen att: P (M) = 039.

Det är därför tydligt att: P (H) = 1 – 039 = 061. Problemet som ställdes i början ger oss också de betingade sannolikheterna:

• Sannolikhet att en person är arbetslös med vetskap om att hon är kvinna -> P (P | M) = 022
• Sannolikhet att en person är arbetslös med vetskap om att han är man – P (P | H) = 014

Med hjälp av lag om total sannolikhet vi kommer att ha:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

De . Vi observerar att resultatet ligger halvvägs mellan de två villkorade sannolikheterna (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Låt oss upptäcka Bayes teorem

Anta nu att en vuxen väljs ut slumpmässigt för att fylla i ett formulär och observeras ha inget jobb. I det här fallet och med hänsyn till föregående exempel, vad är sannolikheten att denna slumpmässigt valda person är en kvinna -P (M | P) -?

För att lösa detta problem kommer vi att tillämpa Bayes sats som används för att beräkna sannolikheten för en händelse genom att ha information om den i förväg . Vi kan beräkna sannolikheterna för en händelse A med vetskapen om att den uppfyller vissa egenskaper (B).

I det här fallet talar vi om sannolikheten att den person som valts slumpmässigt för att fylla i ett formulär är en kvinna. Men det

Formeln för Bayes sats

Som alla andra teorem behöver vi en formel.

Det verkar komplicerat men allt har en förklaring. Låt oss tänka i delar. Vad betyder varje bokstav?

B är händelsensom vi har preliminär information om.
• L bokstaven A (n) hänvisar till de olika betingade händelserna.
• I täljardelen har vi betingad sannolikhet . Detta syftar på sannolikheten att något (en händelse A) kommer att inträffa med vetskap om att en annan händelse (B) också kommer att inträffa. Det definieras som P (A | B) och uttrycks som: Sannolikheten för A givet B .
• I nämnaren har vi motsvarigheten till P (B) och samma förklaring som föregående punkt följer.

Ett exempel

Återgår till föregående exempel anta att en vuxen väljs slumpmässigt för att fylla i ett frågeformulär och det observeras att han är det arbetslös . Vilka är chanserna att denna utvalda person blir kvinna?

Vi vet att 39 % av den aktiva befolkningen består av kvinnor medan resten är det män . Vi vet också att andelen arbetslösa kvinnor är 22 % och andelen män är 14 %.

Slutligen vet vi också att sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är arbetslös är 017. Om vi ​​tillämpar formeln från Bayes sats blir resultatet att det finns en sannolikhet på 05 att en person som väljs slumpmässigt bland de arbetslösa

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes sats härrör från konjunktionen av de sammansatta och absoluta sannolikhetssatserna som vi förklarade i början. Dess huvuddrag är att det fungerar i alla tolkningar av sannolikhet.

Eftersom det kan användas för att beräkna sannolikheten för en orsak som utlöste händelsen dess betydelse ligger i hur det historiskt har påverkat studiet av statistik . Idag är faktiskt två huvudskolor kända (en Frequentist och den andra Bayesianska) som kontrasterar varandra med utgångspunkt från tolkningen av denna teori.

Vi avslutar med en nyfikenhet: visste du att elektronisk skräppost (det av Internet e-postannonser) fungerar det tack vare Bayes teorem?